Metody numeryczne algebry liniowej z zastosowaniami 17-DSPE-IP5
T01. Różne rodzaje błędów w obliczeniach numerycznych
Katastroficzna utrata cyfr znaczących
Przybliżanie wartości pochodnych funkcji w punkcie za pomocą˛ ilorazów różnicowych różnego typu. Dyskretyzacja zadań brzegowych dla równań różniczkowych. Numeryczne różniczkowanie funkcji wielu zmiennych (gradient, jakobian, macierz Hessego itd.) Złożoność obliczeniowa .
Błąd obcięcia dla ilorazów różnicowych
Inne przykłady w których występuje utrata cyfr znaczących
T02. Zredukowany rozkład QR macierzy prostokątnych
Utrata ortogonalności w klasycznym algorytmie (cgs) Grama-Schmita.
Zmodyfikowany algorytm Grama-Schmita (mgs).
Algorytm Grama-Schmita z reortogonalizacją.
Wnioski z doświadczalnych obliczeń numerycznych.
T03. Zastosowanie zredukowanego rozkładu QR macierzy prostokątnych
Rozwiązywanie regularnych, liniowych zadań najmniejszych kwadratów metodą QR.
Porównanie z wynikami rozwiązania normalnego układu równań (dla analogicznych zadań)
T04. Ogólna charakterystyka macierzy ortogonalnych. Odbicia Householdera.
Pełen rozkład QR macierzy prostokątnej wyznaczany metodami Householdera i Givensa.
Rozkład QR z wyborem kolumny i jego zastosowanie do rozwiązywania liniowych, nieregularnych zadań najmniejszych kwadratów. Badanie złożoności obliczeniowej.
T05. Podstawowe informacje o macierzowych zadaniach własnych.
Definicja wektorów własnych , wartości własnych i ich krotności algebraicznej oraz krotności geometrycznej.
Twierdzenie o istnieniu rozkład spektralnego rzeczywistej macierzy symetrycznej.
Uwarunkowanie symetrycznych i niesymetrycznych zadań własnych.
Twierdzenie lokalizacyjne Gerschgorina.
Relacja podobieństwa macierzy.
O konieczności użycia metod iteracyjnych do rozwiązywania dużych zadań własnych.
Wykorzystanie zadań własnych do badania rozwiązań liniowych równań różnicowych o stałych współczynnikach.
T06. Metoda potęgowa
Zbieżność metody potęgowej.
Odwrotna metoda potęgowa.
Zagadnienie PageRank.
T07 Algorytm Jacobiego rozwiązywania symetrycznych zadań własnych.
Różne strategie zerowania w algorytmie Jacobiego i porównanie ich efektywności.
Dobór parametrów sterujących w algorytmie Jacobiego. Informacje o metodzie QR rozwiązywania zadań własnych.
T08. Istnienie, właściwości i zastosowania rozkładu SVD
Wartości szczególne macierzy prostokątnej , lewe wektory szczególne, prawe wektory szczególne (i relacje między nimi). Twierdzenie Bauera-Fike. Zastosowanie do kompresji obrazu. Pseudoodwrotność macierzy. Rozwiązywanie regularnych i nieregularnych liniowych zadań najmniejszych kwadratów z wykorzystaniem rozkładu SVD.
T09. Jednostronny algorytm Jacobiego wyznaczania rozkładu SVD
Dobór macierzy Givensa .
Dlaczego stosujemy metodę jednostronną ?
Informacja o metodzie składowych głównych.
T10. Regularyzacja Tichonowa
Czym jest regularyzacja ?
Przykłady liniowych zadań najmniejszych kwadratów wymagających regularyzacji. Zastosowanie do czyszczenia forografii cyfrowej.
T11. Liniowe zadania najmniejszych kwadratów z ograniczeniami liniowymi.
Macierz KKT i jej odwracalność.
Warunki istnienia i jednoznaczności rozwiązania zadań LLS z ograniczeniami.
Numeryczne wyznaczanie rozwiązania zadania LLS z ograniczeniami. Zastosowania.
Cele kształcenia
Informacja o tym, gdzie można zapoznać się z materiałami do zajęć
Kierunek studiów
Metody prowadzenia zajęć umożliwiające osiągnięcie założonych EK
Moduł zajęć/przedmiotu prowadzony zdalnie (e-learning)
Nakład pracy studenta (punkty ECTS)
Poziom przedmiotu
Rodzaj przedmiotu
Wymagania wstępne w zakresie wiedzy, umiejętności oraz kompetencji
Koordynatorzy przedmiotu
Efekty kształcenia
absolwent potrafi pisać, uruchamiać i testować programy w wybranym środowisku programistycznym
InzP_U01-KPIN1_U05
E02
absolwent zna i rozumie zagadnienia matematyczne konieczne do zrozumienia podstawowych pojęć i zjawisk niezbędnych w pracy informatyka obejmujące m.in. podstawy analizy matematycznej, przybliżone metody opisu zjawisk ciągłych, metody numeryczne, podstawy algebry i algebry liniowej, podstawy logiki i matematyki dyskretnej
KPIN1_W01
E03
absolwent potrafi projektować, analizować pod kątem poprawności i złożoności obliczeniowej oraz programować algorytmy; wykorzystywać podstawowe techniki algorytmiczne i struktury danych
E04
absolwent zna i rozumie podstawowe metody projektowania, analizowania i programowania algorytmów (projektowanie strukturalne, rekurencja, metoda dziel i zwyciężaj, poprawność, metoda niezmienników, złożoność obliczeniowa)
KPIN1_W05
E05
absolwent potrafi stosować techniki prowadzące do otrzymania oprogramowania wysokiej jakości
InzP_U19-KPIN1_U25
E06
absolwent potrafi opracować, przeanalizować i zaimplementować wybrane metody numeryczne z wykorzystaniem pakietów i bibliotek numerycznych
KPIN1_U28
E07
absolwent potrafi przygotowywać dokumentację, opracowania i raporty w języku polskim i języku obcym, w tym z wykorzystaniem
Reprezentacja 64-bitowych liczb zmiennopozycyjnych w standardzie IEEE
Podstawowe funkcje Matlaba i Pythona dotyczące arytmetyki zmiennopozycyjnej
Kryteria oceniania
Zaliczenie ćwiczeń.
Wszystkie elementy projektów są punktowane a punkty są sumowane. Uzyskanie
- 50%- 60% punktów - ocena dostateczny
- 60%- 70% punktów - ocena dostateczny plus
- 70%- 80% punktów - ocena dobry
- 80%- 90% punktów - ocena dobry plus
- 90%-100% punktów - ocena bardzo dobry
Warunkiem zaliczenia jest uzyskanie min. 60% obecności.
Egzamin.
Zaliczenie testu dotyczącego wiedzy na ocenę pozytywną.
Praktyki zawodowe
Nie dotyczy.
Literatura
Zalecana literatura podstawowa:
‒ S. Boyd, L. Vanderberghe , “Introduction to Applied Linear Algebra”,
Cambridge Univ. Press 2018.
‒ Golub G.H, Van Loan Ch., Matrix Computation 4ed., J. Hopkins UP., 2013.
‒ Trefethen L.N. , Bau D. Numerical Linear Algebra., SIAM 1997.
Zalecana literatura uzupełniająca:
‒ G. Allaire., S. Kaber S , Numerical Linear Algebra, Springer 2002
‒ A. Kiełbasińsk, H. Schwetlick , Numeryczna algebra liniowa: wprowadzenie
do obliczeń zautomatyzowanych, Warszawa : Wydaw. Nauk. -Techn., 1992
‒ D.S. Watkins, Foundations of Matrix Computations 3ed., Wiley 2012.
Więcej informacji
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: