Funkcje analityczne 06-DFUNUN0

Jednymi z podstawowych zagadnień rozważanych w ramach analizy matematycznej są problemy związane z istnieniem pochodnej funkcji. W ramach jednego z pierwszych kursów z analizy matematycznej rozwijana jest zwykle koncepcja pochodnej funkcji rzeczywistej jednej zmiennej. Ta kwestia w znacznym stopniu się komplikuje, gdy rozważa się funkcje rzeczywiste wielu zmiennych. Związane jest to z tym, że w rzeczywistej przestrzeni dwu- (lub więcej) wymiarowej nie jest określone mnożenie punktów. Stąd definicja pochodnej funkcji wielu zmiennych jest zaawansowana koncepcyjnie i wymaga znajomości pojęcia normy oraz odwzorowania liniowego.

Wyjątkowa sytuacja występuje jednak, gdy rozważa się funkcje określone na podzbiorze płaszczyzny zespolonej i przyjmujące wartości zespolone. Dzięki temu, że można mnożyć elementy płaszczyzny zespolonej, pochodną w sensie zespolonym definiuje się bardzo podobnie, jak pochodną funkcji jednej zmiennej.

Celem zajęć będzie przedstawienie konsekwencji tego, że funkcja jest różniczkowalna w sensie zespolonym. Szczególna uwaga zwrócona zostanie na porównanie różniczkowalności w sensie rzeczywistym i zespolonym oraz na możliwe wykorzystanie koncepcji funkcji zespolonych w nauczaniu matematyki w szkole. Prezentowany w ramach przedmiotu materiał porządkować będzie i poszerzać wiedzę z teorii funkcji jednej i wielu zmiennych oraz wybranych zagadnień geometrii na płaszczyźnie.