Odwzorowania wielowartościowe 06-DODWUM0

Celem przedmiotu jest nabycie przez studentów umiejętności rozpoznawania i rozwiązywania wybranych problemów z analizy wielowartościowej. Główny cel przedmiotu: porównanie materiału z klasycznego kursu analizy matematycznej z analogicznymi pojęciami analizy wielowartościowej oraz wybrane zastosowania tej teorii.

Cele kształcenia

Pojęcie odwzorowania wielowartościowego (multifunkcji). Naturalne przykłady i realizacje (odwzorowania odwrotne, nierówności, parametryzacje itp.). Wprowadzenie w analizę wielowartościową. Ciągi zbiorów i ich granice, granica Kuratowskiego ciągu zbiorów, inne pojęcia granic. Metryka Hausdorff a na rodzinach zbiorów. Ciągłość multifunkcji: multifunkcje ciągłe i półciągłe. Zależności między półciągłościami multifunkcji, przypadki szczególne - ciągłość funkcji. Przeciwobrazy i ciągi. Mierzalność multifunkcji. Selektory mierzalne. Selektory: pojęcie selektora, istnienie selektora, selektory mierzalne, twierdzenie Kuratowskiego - Ryll-Nardzewskiego, selektory przybliżone, selektory ciągłe (tw. Michaela). Punkty stałe odwzorowań wielowartościowych: pojęcie punktu stałego, tw. Ky-Fana, tw. Kakutani'ego. Kontrakcje. Twierdzenie Covitz-Nadlera. Całki wielowartościowe (Aumanna, Riemanna - Dinghas, Debreu). Pochodne wielowartościowe (subróżniczka, stożki styczne, wykres multifunkcji, pochodne wielowartościowe). Inkluzje różniczkowe: przykłady i zastosowania. Zastosowania inkluzji różniczkowych w teorii optymalnego sterowania. Viabilność. Inne zastosowania.

Informacja o tym, gdzie można zapoznać się z materiałami do zajęć

mcichon.home.amu.edu.pl, grupa w MS Teams

Metody prowadzenia zajęć umożliwiające osiągnięcie założonych EK

wykład, ćwiczenia, praca własna kolokwium, egzamin, pisemne opracowanie tematu

Rodzaj przedmiotu

fakultatywne

Wymagania wstępne w zakresie wiedzy, umiejętności oraz kompetencji

Zdecydowanie rekomendowana jest znajomość pełnego kursu analizy matematycznej. Niezbędna znajomość przestrzeni metrycznych, podstaw topologii, a przydatna również podstaw równań różniczkowych.

Koordynatorzy przedmiotu

Mieczysław Cichoń

Cele kształcenia przedmiotu cyklu

Analiza wielowartościowa obejmuje badanie multifunkcji, czyli odwzorowań przyporządkowujących punktom podzbiory - niekoniecznie jednoelementowe. Taka "niewielka" zmiana pozwala na zbudowanie pojęć analogicznych do tych, znanych z badań funkcji (i uogólniających je). Celem przedmiotu jest nabycie przez studentów umiejętności rozpoznawania i rozwiązywania wybranych problemów z analizy wielowartościowej. Główny cel przedmiotu: porównanie materiału z klasycznego kursu analizy matematycznej z analogicznymi pojęciami analizy wielowartościowej oraz wybrane zastosowania tej teorii.

Efekty kształcenia

Potrafi rozpoznać problem analizy wielowartościowej i prawidłowo zastosować poznane pojęcia.

Prawidłowo wprowadza pojęcia analizy wielowartościowej w oparciu o znane pojęcia analizy matematycznej.

Stosuje pojęcia analizy wielowartościowej poszerzając stosowane techniki analizy matematycznej (równania różniczkowe i ich zastosowania, teoria sterowania).

Kryteria oceniania

Egzamin końcowy: umiejętność analizy problemów w języku analizy wielowartościowej i posługiwania się omawianymi pojęciami, znajomość reguł i twierdzeń, umiejętność prowadzenia podstawowych rozumowań. Rozkład ocen jest ustalany na podstawie listy uzyskanych podczas egzaminu punktów wraz z punktami za pracę w trakcie trwania semestru. Ocena z ćwiczeń.

Kryteria i skala ocen zgodne ze skalą przyjęta na UAM.

Praktyki zawodowe

Literatura

J.-P. Aubin, H. Frankowska "Set-Valued Analysis",

Ch. Castaing, M. Valadier "Convex Analysis and Measurable Multifunction",

M. Kisielewicz "Differential Inclusions and Optimal Control",

K. Deimling "Multivalued Differential Equations",

A. Fryszkowski "Teoria Multifunkcji",

A. Fryszkowski "Fixed Point Theory for Decomposable Sets"

G. Beer "Topologies on Closed and Closed Convex Sets"

K. Kuratowski "Wstęp do teorii mnogości i topologii",

C. Berge, "Topological Spaces",

G. Smirnov, "Introduction to the theory of differential inclusions",

i inne...

Więcej informacji

Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb:

Strona przedmiotu 06-DODWUM0 w USOSweb