Multiplikatywna teoria liczb 06-DMTLLM0

Celem przedmiotu jest zapoznanie słuchaczy z podstawami multiplikatywnej teorii liczb tj. zagadnieniami związanymi z liczbami pierwszymi, ich rozmieszczeniem w zbiorze liczb naturalnych oraz rozkładem liczb naturalnych na czynniki. Centralnym punktem wykładu będą funkcje multiplikatywne, które są efektywnym narzędziem do badania arytmetyki liczb naturalnych. Przedstawione zostaną różne metody pozwalające uzyskać oszacowania oraz wzory asymptotyczne dotyczące funkcji multiplikatywnych i ich wartości średnich. Omówiony zostanie związek funkcji multiplikatywnych z szeregami Dirichleta oraz płynące z tego związku ważne wyniki dotyczące rozmieszczenia liczb pierwszych. W końcowej części wykładu zostaną przedstawione podstawowe metody sita, których zaawansowane wersje pozwoliły w ostatnich latach uzyskać przełomowe wyniki dotyczące małych odległości między kolejnymi liczbami pierwszymi. Wykład może zostać potraktowany również jako przygotowanie przed kursem z analitycznej teorii liczb, jednak podczas wykładu omówione zostaną jedynie te wyniki, które można uzyskać bez użycia teorii funkcji zespolonych. Wykład przeznaczony jest dla studentów matematyki teoretycznej oraz wymaga znajomości podstawowych zagadnień z algebry i analizy matematycznej oraz podstawowych definicji dotyczących funkcji analitycznych.