Metody numeryczne 06-DMNULI0

Wykłady:

1. Arytmetyka zmiennopozycyjna - reprezentacja zmiennopozycyjna liczb (podstawy teoretyczne i standard IEEE 754), arytmetyka i błędy zaokrągleń. Algorytm sumacyjny Kahana.
2. Błędy w obliczeniach, uwarunkowanie zadania, numeryczna stabilność algorytmów.
3. Algorytm Hornera - obliczanie wartości wielomianu w postaci naturalnej w punkcie, dzielenie wielomianu przez dwumian, obliczanie wartości pochodnych znormalizowanych w punkcie, obliczanie wartości wielomianu w postaci Newtona w punkcie.
4. Przypomnienie pojęcia przestrzeni metrycznej. Interpolacja wielomianowa - zadanie interpolacyjne Lagrange'a i Hermite'a, bazy Newtona, ilorazy róznicowe, błąd interpolacji, dobór węzłów interpolacji.
5. Interpolacja funkcjami sklejanymi.
6. Przypomnienie pojęcia całki Riemanna. Numeryczne obliczanie całek - kwadratury Newtona-Cotesa i Gaussa.
7. Metody iteracyjne rozwiązywania równań nieliniowych (metody bisekcji, siecznych i Newtona) i kryteria stopu. Idea metody Bairstowa. Rząd metody.
8. Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych - uwarunkowanie (normy wektorów i macierzy); metody bezpośrednie: eliminacja Gaussa z częściowym i pełnym wyborem elementu głównego, rozkład LU, rozkład Doolitle'a, rozkład Cholesky'ego-Banachiewicza (z wprowadzeniem pojęcia macierzy dodatnio określonej); iteracyjne poprawianie rozwiązań; metody iteracyjne rozwiązania układów liniowych równań algebraicznych.
9. Rozkład SVD.

Laboratoria:
1. Postać zmiennopozycyjna liczby w arytmetyce pojedynczej i podwójnej precyzji. Liczby maszynowe. Działania arytmetyczne w arytmetyce zmiennopozycyjnej. Epsilon maszynowy, wyrażenia specjalne: NaN i nieskończoność. Porównywanie rozwiązań zadania otrzymywanych różnymi algorytmami.
2. Utrata cyfr znaczących. Uwarunkowanie zadania obliczania wartości funkcji jednej zmiennej. Wskaźnik uwarunkowania zadania obliczania iloczynu skalarnego wektorów. Przykłady algorytmów niestabilnych numerycznie.
3. Zastosowanie algorytmu Hornera do obliczania wartości dziesiętnej liczby zapisanej w dowolnym liczbowym systemie pozycyjnym. Przykład obliczenia wartości wielomianu w postaci Newtona w zadanym punkcie.
4. Zasady wyboru postaci Lagrange'a lub Newtona wielomianu interpolacyjnego. Błąd interpolacji wielomianowej. Poprawa jakości wielomianu interpolacyjnego poprzez dobór węzłów Czebyszewa. Przykład zastosowania interpolacji Hermite'a.
5. Motywacja do stosowania funkcji sklejanych. Naturalne funkcje sklejane. Funkcje sklejane trzeciego stopnia.
6. Przybliżanie całek za pomocą sum Riemanna oraz prostych i złożonych kwadratur Newtona-Cotesa.
7. Sposoby unikania rozbieżności metod iteracyjnych. Porównanie szybkości zbieżności poznanych metod iteracyjnych.
8. Uwarunkowanie macierzy. Niestabilność metody eliminacji Gaussa bez wyboru elementu głównego, zalety częsciowego wyboru elementu głównego. Metoda Doolitle'a i Cholesky'ego-Banachiewicza. Metoda Jacobiego i Gaussa-Seidela. Metoda nadrelaksacji dla różnych wartości parametru relaksacji.
9 Zastosowanie rozkładu SVD do redukcji danych.