Analiza matematyczna 2 06-DANALM2

1. Całka nieoznaczona
_ Definicja i istnienie funkcji pierwotnej.
_ Całkowanie przez części i przez podstawienie.
_ Wzory rekurencyjne.
_ Obliczanie podstawowych typów całek nieoznaczonych:
– całkowanie funkcji wymiernych;
– całkowanie funkcji niewymiernych, podstawienia Eulera;
– całkowanie funkcji trygonometrycznych.
2. Całka Riemanna
_ Definicja całki Riemanna, kryterium całkowalności.
_ Całkowalność funkcji ciągłej, całkowalność funkcji monotonicznej.
_ Własności całki.
_ Twierdzenie o funkcji górnej granicy całkowania, wzór Newtona-Leibniza.
_ Wzory na całkowanie przez części i przez podstawienie dla całek oznaczonych.
_ Twierdzenia o wartości średniej w rachunku całkowym.
_ Geometryczne zastosowania całek: pole figury, długość łuku, objętość bryły obrotowej.
_ Definicja logarytmu za pomocą całki, funkcja wykładnicza.
3. Całki niewłaściwe
_ Definicja i podstawowe własności całek niewłaściwych.
_ Zbieżność bezwzględna i warunkowa, kryteria: Cauchy’ego, porównawcze i Dirichleta.
_ Całkowe kryterium zbieżności szeregów.
4. Elementy analizy zespolonej
_ Definicja i podstawowe własności liczb zespolonych.
_ Zbieżność w C, ciągi i szeregi o wyrazach zespolonych.
_ Granica i ciągłość funkcji zespolonych.
_ Różniczkowanie i całkowanie funkcji określonych na przedziale i przyjmujących
wartości zespolone.
_ Pochodna funkcji zespolonej i jej podstawowe własności (bez równań Cauchy’ego-
Riemanna).
5. Ciągi i szeregi funkcyjne
_ Zbieżność punktowa i jednostajna. Warunek Cauchy’ego na zbieżność jednostajna.
_Kryterium Weierstrassa.
_ Związki zbieżności jednostajnej z ciągłością, różniczkowaniem i całkowaniem.
_ Przykład funkcji ciągłej na całej prostej, która nie ma pochodnej w żadnym punkcie.
6. Szeregi potęgowe
_ Szereg potęgowy, promień zbieżności, wzór Cauchy’ego-Hadamarda, własności sumy
szeregu potęgowego w przedziale zbieżności (różniczkowanie i całkowanie w
przypadku szeregu o wyrazach rzeczywistych).
_ Rozwijanie funkcji w szereg potęgowy. Rozwinięcia funkcji wykładniczej i funkcji
trygonometrycznych, szereg dwumienny.
_ Przykład funkcji gładkiej, która nie jest analityczna.
_ Zachowanie się sumy szeregu potęgowego na końcach przedziału zbieżności, twierdzenie
Abela.
_ Analityczne definicje funkcji trygonometrycznych, związek pomiędzy funkcja wykładnicza
i funkcjami trygonometrycznymi, wzory Eulera.
7. Szeregi Fouriera
_ Szereg Fouriera, wzory Eulera-Fouriera.
_ Lemat Riemanna-Lebesgue’a.
_ Całka Dirichleta, zasada lokalizacji. Zbieżność punktowa szeregu Fouriera.
_ Zamkniętość układu trygonometrycznego. Nierówność Bessela i identyczność Parsevala.
_ Postać zespolona szeregu Fouriera.
8. Przestrzenie metryczne
_ Definicja i przykłady przestrzeni metrycznych.
_ Przestrzeń euklidesowa n-wymiarowa jako przestrzeń metryczna.
_ Zbiory otwarte i domknięte.
_ Domknięcie, wnętrze i brzeg zbioru.
_ Ciągi zbieżne w przestrzeniach metrycznych. Zbieżność w przestrzeni euklidesowej.
_ Przestrzenie zupełne. Zupełność przestrzeni przestrzeni euklidesowej. Twierdzenie Banacha o kontrakcji .
_ Zbiory zwarte. Zwartość podzbiorów przestrzeni euklidesowej, twierdzenia: Heinego-Borela i
Bolzano-Weierstrassa.
_ Spójność. Charakteryzacja spójnych podzbiorów prostej.
_ Granica funkcji. Granica podwójna a granice iterowane.
_ Ciągłość:
– ciągłość złożenia i ciągłość funkcji odwrotnej;
– własności funkcji ciągłych na zbiorach zwartych;
– ciągłość a spójność, zbiory łukowo spójne, łukowa spójność obszaru w przestrzeni euklidesowej.
_ Przestrzeń funkcji ciągłych na zbiorze zwartym.
9. Całka Riemanna-Stieltjesa
_ Definicja i podstawowe własności całki Riemanna-Stieltjesa.
_ Istnienie całki w przypadku całkowania funkcji ciągłej względem funkcji monotonicznej.